Διακριτά Μαθηματικά

• Αναδρομικά προβλήματα: Ο πύργος του Hanoi, διαμέριση επιπέδου, το πρόβλημα του Flavious Josephus.
• Βασικές αρχές της συνδυαστικής ανάλυσης: το αντικείμενο της συνδυαστικής, οι βασικές αρχές της συνδυαστικής, οι βασικοί συνδυαστικοί σχηματισμοί.
• Λογισμός με πεπερασμένα αθροίσματα: ιδιότητες, πολλαπλά αθροίσματα.
• Διακριτός λογισμός: αντιστοίχιση διακριτού και απειροστικού λογισμού, αρνητικές παραγοντικές δυνάμεις, πίνακας διαφορών – αθροισμάτων.
• Διωνυμικοί συντελεστές – ειδικοί αριθμοί: διωνυμικοί συντελεστές, βασικές ταυτότητες, αθροίσματα γινομένων, αριθμοί Stirling, βασικές ταυτότητες, αρμονικοί αριθμοί, αριθμοί Fibonacci, αριθμοί Catalan.
• Βασικές αρχές θεωρίας αριθμών: Ευκλείδεια διαίρεση, διαιρετότητα, μέγιστος κοινός διαιρέτης, γραμμική διοφαντική εξίσωση, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρώτοι αριθμοί, πλήθος και άθροισμα διαιρετών.
• Ακέραιες συναρτήσεις – γεννήτριες συναρτήσεις: ακέραιο μέρος πραγματικού αριθμού, αριθμητικές – πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις, η συνάρτηση του Euler, η συνάρτηση του Legendre.

Γεννήτρια συνάρτηση: εκθετική γεννήτρια συνάρτηση, γεννήτρια συνάρτηση αριθμών Catalan, γεννήτρια συνάρτηση αριθμών Fibonacci, γεννήτρια συνάρτηση αριθμών Stirling, λογισμός με γεννήτριες συναρτήσεις, πίνακας απλών ακολουθιών και γεννητριών τους, γεννήτριες συναρτήσεις ειδικών αριθμών.

H ύλη του μαθήματος σχετίζεται με την εισαγωγή και κατανόηση των σπουδαστών σε βασικές αρχές θεωρίας αριθμών, όπως πρώτοι αριθμοί, ευκλείδεια διαίρεση, διαιρετότητα, μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, και την επίλυση της γραμμικής διοφαντικής εξίσωσης, με σκοπό να εμβαθύνει σε έννοιες που βρίσκουν εφαρμογές στην επιστήμη της πληροφορικής.

Προσεγγίζει βασικές έννοιες του διακριτού λογισμού, όπως αντιστοίχιση διακριτού και απειροστικού λογισμού, αρνητικές παραγοντικές δυνάμεις, πίνακας διαφορών – αθροισμάτων και του λογισμού με πεπερασμένα αθροίσματα.

Σημαντικό μέρος του μαθήματος αποτελεί η προσέγγιση βασικών αρχών της συνδυαστικής ανάλυσης και η κατανόηση τεχνικών επίλυσης αναδρομικών προβλημάτων, όπως ο πύργος του Hanoi.

Μέρος του μαθήματος αποτελεί η προσέγγιση και η κατανόηση των ειδικών αριθμών και διωνυμικών συντελεστών και ειδικότερα βασικές ταυτότητες, αθροίσματα γινομένων, αρμονικοί αριθμοί, αριθμοί Stirling, αριθμοί Fibonacci, αριθμοί Catalan.

Σημαντικό μέρος του μαθήματος αποτελεί η κατανόηση από τους σπουδαστές εννοιών όπως οι ακέραιες συναρτήσεις, για παράδειγμα αριθμητικές – πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις, η συνάρτηση του Euler, η συνάρτηση του Legendre, και γεννήτριες συναρτήσεις, όπως η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση, γεννήτρια συνάρτηση αριθμών Catalan, γεννήτρια συνάρτηση αριθμών Fibonacci, γεννήτρια συνάρτηση αριθμών Stirling, λογισμός με γεννήτριες συναρτήσεις, πίνακας απλών ακολουθιών και γεννητριών τους, γεννήτριες συναρτήσεις ειδικών αριθμών.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια :

• Έχει κατανοήσει έννοιες του διακριτού λογισμού, όπως αντιστοίχιση διακριτού και απειροστικού λογισμού, αρνητικές παραγοντικές δυνάμεις, πίνακας διαφορών – αθροισμάτων και του λογισμού με πεπερασμένα αθροίσματα.
• Έχει κατανοήσει έννοιες αρχών θεωρίας αριθμών, όπως πρώτοι αριθμοί, έννοια της διαιρετότητας, μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
• Είναι σε θέση να επιλύσει γραμμικά συστήματα χρησιμοποιώντας τεχνικές όπως η μέθοδος Gauss, η μέθοδος Gauss-Jordan, η μέθοδος Cramer και με την χρήση αντίστροφου πίνακα.
• Έχει κατανοήσει και εφαρμόζει τεχνικές για την επίλυση προβλημάτων επίλυση της γραμμικής διοφαντικής εξίσωσης.

• “Διακριτά μαθηματικά”, Παναγιωτόπουλος Αντώνιος Χ., Εκδόσεις Σταμούλη, ISBN 960-351-227-3, 1999
• “ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”, LIU C.L., Εκδόσεις ΙΤΕ-ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ, ISBN 978-960-524-072-1, 2009